《 中学生 数学 》解説

「n角形の内角の和は、" 180°×(n-2)”」になる説明

なぜ、”n角形の内角の和は、180°×(n-1)”なのか?の説明図1ここではなぜ、n角形の内角の和は「180°×(n-2)」で求めることができるのか?を確認していきたいと思います。

この公式のポイント

・n角形の内角の和は、180°×(n-2)で求めることが出来ます。

・この公式を理解するためには、三角形の内角の和は180°という公式を使います。

このn角形の内角の和の公式は、中学生で習う内容です。ただ、実は小学生でも多角形の内角の和について習っているので、その復習にもなっている公式です。

ぴよ校長
小学生で習った多角形の内角の和については、覚えているかな?

中学生では、多角形の角の数を「n」として書き表すことが違いますが、その他の内容は小学生で習ったこととほとんど同じ内容です。小学生向けに多角形の内角の和について説明したページもあるので、ぜひ参考にしてみて下さいね。

「多角形の内角の和は何度か?」の説明
「多角形の内角の和は何度か?」の説明

ここでは、多角形の内角の和は何度なのか?を、考えていきます。 上の図に少し説明を書いていますが、多角形は角が1つ増えるごとに、内角の和は18 ...

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ぴよ校長
それではさっそく、n角形の内角の和の公式を確認していこう!

「n角形の内角の和は、180°×(n-2)」となる説明

下の図のように三角形を1つ考えます。そしてこの三角形の外側に1つ点を加えて、この点から近い三角形の2つの頂点からこの点へ線を引くと、四角形ができることがわかります。そしてこの四角形の中には2つの三角形があります。

なぜ、”n角形の内角の和は、180°×(n-1)”なのか?の説明図2

更に外側に点を増やしながら、追加した点に線を引いていくと、できる多角形はどうなるでしょうか?下の図のように多角形の中にできる三角形の数も1つずつ増えていくことになります。

なぜ、”n角形の内角の和は、180°×(n-1)”なのか?の説明図3

この時、多角形の「頂点の数」とその中にできる「三角形の数」「内角の和」は下の表のような関係になっています。

頂点の数 多角形の中にある三角形の数

(頂点の数-2)

内角の和

(180°×三角形の数)

三角形 3つ 1つ 180°×1
四角形 4つ 2つ 180°×2
五角形 5つ 3つ 180°×3
・・・ ・・・ ・・・ ・・・
n角形 (n-2) 180°×(n-2)

多角形は頂点が1つ増えるごとに、中にできる三角形の数も1つずつ増えることが分かります。そして三角形の数は(頂点の数ー2)の数になっていることが分かります。

多角形の内角の和は「180°×三角形の数」で求めることが出来るので、n角形の内角の和は180°×(n-2)で求めることが出来ます。

ぴよ校長
n角形の内角の和を出すことができたね!

まとめ

・n角形は、その中に(n-2)個の三角形があります。

・三角形の内角の和は180°なので、n角形の内角の和は、180°×(n-2)で求めることが出来ます。

ぴよ校長
n角形の内角の和の公式を覚えることが出来たかな!

その他の中学生で習う公式は、こちらのリンクにまとめてあるので、気になるところはぜひ読んでみて下さいね。

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