《 中学生 数学 》公式の解説

「角の二等分線は、角を作る2辺から等しい距離」になる説明

なぜ、”角の二等分線は、角を作る2辺から等しい距離”なのか?

ここでは、なぜ「角の二等分線は、角を作る2辺から等しい距離」なのか?を、考えていきます。

この公式のポイント

角の二等分線とは、角を2つの等しい角度に分ける直線です。

・その二等分線は、角を作る2辺(辺OAと辺OB)から等しい距離にあります。

ぴよ校長
教科書に出てくるこの公式が、なぜ成り立つのか一緒に確認していこう!

中学1年生では、角の二等分線の公式が出てきます。ここでは図を使って、なぜこの公式が成り立つのか?を考えながら、理解していきたいと思います。

ぴよ校長
それでは角の二等分線の公式を確認してみよう!

「角の二等分線は、角を作る2辺から等しい距離」になる説明

まず、下の図のように角の二等分線を引き、その上に点Pをとります。点Pから、辺OAと辺OBのそれぞれに垂線を引き、その交点を点S、点Tとします。

なぜ、”角の二等分線は、角を作る2辺から等しい距離”なのか?の説明図1

ここで三角形SOPと三角形TOPの2つの三角形を考えると、∠SPOと∠TPOの2つの角の大きさは、それぞれ下のように計算でき、等しい角になっていることが分かります。

∠SPO=180°-90°-∠SOP

∠TPO=180°-90°-∠TOP

※直線OPは∠AOBの二等分線なので、∠SOP=∠TOPとなっている。

そのため、三角形SOPと三角形TOPは、1組の辺(辺OP)とその両端の角が等しい合同な三角形になっています。△SOP≡△TOP

合同な三角形は対応する辺の長さは等しいのでPS=PTとなります。これで点Pは辺OAと辺OBから等しい距離にあると確認できました。

なぜ、”角の二等分線は、角を作る2辺から等しい距離”なのか?3

∠AOBの二等分線の上の点Pの位置を、別の場所にズラしてみたときも、それぞれの点から辺OA、辺OBへ垂線を引くと、合同な三角形を作ることが出来るので、二等分線の上の点は辺OA、辺OBから等しい距離にあります。

なぜ、”角の二等分線は、角を作る2辺から等しい距離”なのか?の説明図3

ぴよ校長
角の二等分線は、2辺から等しい距離にあると確認できたね!

まとめ

・角の二等分線の上の点から、その角を作る2辺へ垂線を引くと、2本の垂線の長さは等しくなります。

・二等分線の上の点の位置をズラしても、2本の垂線の長さは等しくなっています。

・角の二等分線は、その角を作る2辺から等しい距離にあるとわかります。

ぴよ校長
今回は、角の二等分線と、2辺からの距離の公式を説明してみたよ

その他の中学生で習う公式は、こちらのリンクにまとめてあるので、気になるところはぜひ読んでみて下さいね。

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