《 中学生 数学 》解説

「角すいの体積は " 底面積×高さ×1/3 ”」になる説明

なぜ、”角すいの体積は底面積×高さ×1/3”なのか?の説明図1ここでは、なぜ角すいの体積は「底面積×高さ×1/3」なのか?を考えていきます。

この公式のポイント

角柱の体積は「底面積×高さ」で求めることができます。

角すいの体積は「底面積×高さ×1/3」で求めることができます。

・つまり、角すいの体積は、角柱の1/3になっています。

ぴよ校長
角柱の体積は「底面積×高さ」で求めることができるのは、覚えていたかな?

中学生では、角すいの体積の公式は「底面積×高さ×1/3」として習いますが、なぜ1/3なのか?については詳しい説明はありません。実際にこの公式をちゃんと説明するためには、高校で習う微分・積分を使う必要があるため、中学生ではそれを説明するのが難しい部分があります。

ここでは、厳密な証明ではありませんが、中学生が見て感覚的に理解しやすいように、図を使って説明してみたいと思います。

角すいの公式に1/3が出てくることに、少し疑問を持ったときに、ぜひ参考にしてみて下さいね。

ぴよ校長
それでは、さっそく確認してみよう!

「角すいの体積は、角柱の1/3」になる説明

まず、下のような立方体を使って確認します。それぞれの頂点から、対角の頂点へ線を引いてみましょう。すると立方体の中心に向かって、6つの角すいが頂点が重なるようできているのが分かります。(上下に2つ、側面に4つの角すいができています)

なぜ、”角すいの体積は底面積×高さ×1/3”なのか?の説明図2

次にこの立方体を半分の高さに切った図形では、3つの角すいからできていることになります。つまり、角すいの体積は角柱の1/3ということになります。

なぜ、”角すいの体積は底面積×高さ×1/3”なのか?の説明図3

ここで、半分の高さに切った図形は角柱になっており、この角柱の体積は「底面積×高さ」で求めることができます。

そして、この角柱は3つの角すいから出来ているので、角すいの体積はその1/3の「底面積×高さ×1/3」ということになります。

ぴよ校長
角すいの体積は、角柱の1/3になることが分かったかな?

まとめ

・立方体のそれぞれの頂点から、対角の頂点へ線を引くと、6つの角すいを作ることができます。

・この立方体を半分の高さで切った角柱は、3つの角すいからできていることになります。

・そのため、角すいの体積は、角柱の体積の1/3になります。

ぴよ校長
今回は、角すいの体積が角柱の1/3になることを、図を使って確認してみたよ

その他の中学生で習う公式は、こちらのリンクにまとめてあるので、気になるところはぜひ読んでみて下さいね。

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