《 中学生 数学 》解説

「おうぎ形の面積は " 1/2×弧の長さ×半径 ”」になる説明

なぜ、”おうぎ形の面積は1/2×弧の長さ×半径”なのか?ここではなぜ、おうぎ形の面積は「1/2×弧の長さ×半径」で求めることができるのか?を考えていきたいと思います。

この公式のポイント

おうぎ形の面積は「1/2×弧の長さ×半径で求めることができます。

・おうぎ形の半径をr、弧の長さをLとしたとき、面積Sは下の公式で書くことができます。

$$\Large{S}=\frac{1}{2}{l}{r}$$

ぴよ校長
おうぎ形は、半径と弧の長さが分かれば、面積を出すことが出来るね!

中学生では、円すいの表面積を求めるときに、この公式を使って解く問題が出てきます。円すいの側面は、広げるとおうぎ形の形をしています。

おうぎ形の面積を求める公式を忘れてしまったときに、ぜひ参考にしてみて下さい。

ぴよ校長
それでは、さっそく確認していこう!

「おうぎ形の面積は、1/2×弧の長さ×半径」になる説明

まずはじめに、半径rの円の「面積」と「円周」の式を確認しておきます。

円の面積の式

$$\Large{π}r^2$$

 

円の円周の式

$$\Large{2}{π}{r}$$

なぜ、”おうぎ形の面積は1/2×弧の長さ×半径”なのか?の説明図2

次に下の図のように、この円を一部を切っておうぎ形を作ったとき、おうぎ形の面積は円全体の面積の割合になっているでしょうか?

なぜ、”おうぎ形の面積は1/2×弧の長さ×半径”なのか?の説明図3

ここで、おうぎ形が元の円の何割か?を出すために、弧の長さを使います。円全体の円周に対する、おうぎ形の弧の長さの割合は、おうぎ形の弧の長さを、円周で割って下の式になります。

$$\Large\frac{l}{2πr}$$

円に対するおうぎ形の割合が上の式になるので、これを円の面積に掛けると、おうぎ形の面積を求めることができます。

$$\Large{π}r^2×\frac{l}{2πr}$$

$$\Large=\frac{1}{2}{l}{r}$$

ぴよ校長
これで、おうぎ形の面積の公式を出すことができたね!

まとめ

・おうぎ形の面積は、おうぎ形をつくる元の円の面積の何割になるかを考えます。

・上の割合を出すためには、おうぎ形の弧の長さを、円の円周で割れば割合を出すことができます。

・円の面積に、おうぎ形の面積の割合を掛けると、おうぎ形の面積を求めることができます。

ぴよ校長
ぜひ、おうぎ形の面積の公式を覚えるときの参考にしてみて下さいね!

その他の中学生で習う公式は、こちらのリンクにまとめてあるので、気になるところはぜひ読んでみて下さいね。

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